Преподаватели
Расписание занятий
ГРУППЫ 171-174: 13:40-15:00 Лекция, аудитория 622
ГРУППЫ 175-177: 15:10-16:30 Лекция, аудитория 622
| Группа | ПН | ВТ | СР | ЧТ | ПТ | СБ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 171 | 12:10-13:30 Семинар, кабинет 402 | |||||
| 172 | 15:10-16:30 Семинар, кабинет 300 | |||||
| 173 | 16:40-18:00 Семинар, кабинет 400 | |||||
| 174 | 13:40-15:00 Семинар, кабинет 402 | |||||
| 175 | 12:10-13:30 Семинар, кабинет 400 | |||||
| 176 | 12:10-13:30 Семинар, кабинет 402 | |||||
| 177 | 12:10-13:30 Семинар, кабинет 219 |
Консультации
Расписание консультаций (ассистенты и возможное время)
| Группа | Ассистенты | ПН | ВТ | СР | ЧТ | ПТ | СБ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 171 | Наталья Зубкова | 18:00-19:30 | 15:00-16:30 | 10:30-16:30 | 12:10-13:30; 16:30-19:30 | ||
| 172 | Анастасия Казанцева | 15:10-16:30 | |||||
| 173 | Егор Соловьев | с 10:00 | с 10:00 | с 10:00 | с 10:00 | ||
| 174 | Анна Карбовская | 13:40-15:00, 16:40-18:00 | с 16:40 | с 10:30 | 12:10-13:30, 16:40-18:00 | с 13:40 | |
| 175 | Тимофей Шунин | 13:40-15:00; 16:40-18:00 | 10:30-12:00 | 10:30-15:00 | 12:10-13:30 | ||
| 176 | Дмитрий Олейник | 13:40 - 15:00 | 10:30-13:30 | ||||
| 177 | Иван Чуев | 9:00-10:30 | 12:10-13:30; 16:40-18:00 | 10:30-12:00 | 10:30-12:00; 13:40-15:00 |
Запись на консультацию (ссылка на форму с записью на консультацию и отправкой вопроса)
Для посещения консультации нужно: 1) записаться и 2) отправить свой вопрос.
В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.
Выберите желаемое время и заполните форму.
Записаться можно к любому ассистенту, независимо от того, какая группа за ним закреплена.
В первое воскресенье после заполнения формы заявка будет обработана, и студенты будут оповещены о времени консультаций, которые состоятся на следующей неделе.
Запись на консультацию по алгебре
Краткое содержание уже прочитанных лекций
Лекция 08.09.2017. Системы линейных алгебраических уравнений. Определители второго и третьего порядков. Правило Крамера для случая двух переменных. Формулировка правила Крамера для случая трех переменных. Операции над матрицами: сложение, умножение на число, транспонирование и умножение.
Лекция 15.09.2017. Свойства операций над матрицами: сложения и умножения на скаляр, транспонирования, умножения. Доказательство ассоциативности умножения матриц, доказательство связи умножения и транспонирования. Единичная матрица. Некоммутативность умножения матриц. Симметрические и кососимметрические матрицы. Ступенчатый вид матрицы и канонический (улучшенный ступенчатый) вид матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы. Теорема о методе Гаусса.
Лекция 22.09.2017. Главные и свободные переменные. Общий вид решения системы линейных алгебраических уравнений. Перестановки и подстановки. Инверсии. Транспозиции. Знак и чётность перестановки и подстановки. Общая формула для определителя произвольного порядка. Свойства определителя, в частности: линейность, кососимметричность.
Лекция 29.09.2017. Свойства определителя, в частности: разложение определителя по строке (столбцу) и фальшивое разложение, вычисление определителя верхнетреугольной матрицы. Дополняющий минор, алгебраическое дополнение. Определитель произведения двух квадратных матриц. Способы вычисления определителей. Замечание о том, что кососимметричность эквивалентна обнулению на паре совпадающих элементов. Утверждение о том, что любая функция от столбцов матрицы является определителем, если она линейна по каждому аргументу, кососимметрична и принимает значение 1 на единичной матрице, для случая квадратной матрицы 2-го порядка. Формулы Крамера для квадратной матрицы произвольного порядка.
Лекция 06.10.2017. Обратная матрица. Единственность обратной матрицы. Критерий существования и формула для нахождения обратной матрицы. Союзная матрица. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Матричные уравнения AX = B, XA = B. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости. Свойства ранга матрицы.
Лекция 13.10.2017. Теорема о базисном миноре. Следствия теоремы о базисном миноре (теорема о ранге матрицы и критерий невырожденности квадратной матрицы). Вычисление ранга матрицы: элементарные преобразования и метод окаймляющих миноров.
Лекция 20.10.2017. Однородные СЛАУ. Совместные СЛАУ. Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений (ФСР) однородной системы линейных уравнений. Теорема о существовании ФСР.
Лекция 03.11.2017 Критерий существования ненулевого решения у однородной квадратной системы линейных алгебраических уравнений. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений. Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.
Лекция 10.11.2017 Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента. Сложение, умножение комплексных чисел. Формула Муавра. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия.
Лекция 17.11.2017. "Основная" теорема алгебры. Теорема Безу. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Формулы Виета. Представление правильной дроби в виде суммы простейших. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства).
Лекция 24.11.2017. Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Правый базис. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.
Лекция 01.12.2017. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость.
Лекция 08.12.2017. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Направляющие косинусы вектора нормали. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости. Вычислений расстояний: от точки до прямой и между двумя прямыми.
Сюръективность и инъективность. Биекция. Бинарные операции. Ассоциативные и коммутативные бинарные операции. Группоид и полугруппа. Примеры.
Лекция 15.12.2017. Моноид. Обратимые элементы. Группа. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Ядро гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Циклическая группа. Порядок элемента. Связь порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы (без доказательства). Таблица Кэли. Теорема о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Три свойства изоморфизма.
Лекция 12.01.2018. Доказательство утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Пример конечной циклической группы: вычеты. Таблица Кэли для вычетов по модулю 4. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и три её следствия. Примеры групп: группа диэдра, знакопеременная группа.
Лекция 19.01.2018. Группа кватернионов. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых числе по сложению. Нормальная подгруппа. Критерий нормальности. Определение факторгруппы. Естественный гомоморфизм. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Теорема о гомоморфизме.
Лекция 26.01.2018. Прямое произведение групп. Замечание о том, какими бывают группы порядка восемь. Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Утверждение о количестве элементов в орбите действия конечной группы. Примеры действий группы на себе. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Теорема Кэли. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов.
Лекция 02.02.2018. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Подкольцо. Подкольцо, порожденное множеством. Коммутативное кольцо. Делители нуля и обратимые элементы. Целостное кольцо. Поле, примеры полей. Утверждение, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое.
Лекция 09.02.2018. Подполя: примеры. Двусторонний идеал. Главный идеал. Гомоморфизм колец. Факторкольцо. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец, пример. Характеристики поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Расширение поля. Поле рациональных дробей. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем (без доказательства).
Лекция 16.02.2018. Расширение поля, получено путем присоединения элемента: примеры. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, сколько элементов может быть в конечном поле и как устроены его подполя (без доказательства). Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Взаимная простота в кольцах. Критерий целостности для нетривиального коммутативного кольца с единицей. Китайская теорема об остатках. Определение линейного пространства.
Лекция 02.03.2018. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций, пространство решений однородной СЛАУ. Простые следствия определения линейного пространства. Базис, размерность, координаты вектора в базисе, запись операций над векторами в координатах. Изоморфизм конечномерных векторных пространств. Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов.
Лекция 09.03.2018. Ранг системы векторов. Теорема о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе (без доказательства). Пересечение подпространств. Сумма и прямая сумма подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Линейные отображения линейных пространств, линейные операторы. Примеры. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Теорема о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса.
Лекция 16.03.2018. Преобразование матрицы линейного отображения при замене базисов. Действия над линейными операторами. Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Инвариантные подпространства. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Спектр. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы. Инвариантность характеристического многочлена. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена (над алгебраически замкнутым полем).
Лекция 23.03.2018. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения и неравенство, их связывающее (без доказательства). След матрицы. След произведения матриц. Инвариантность следа матрицы линейного оператора. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов. Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости. Достаточное условие диагонализируемости. Формулировка теоремы о жордановой нормальной форме матрицы оператора. Формулировка теоремы Гамильтона-Кэли.
Лекция 06.04.2018. Корневые подространства. Формула для числа жордановых клеток заданного размера.
Алгебры и модули: определения и примеры.
Лекция 13.04.2018. Евклидово пространство, аксиомы скалярного произведения. Примеры. Неравенство Коши–Буняковского. Неравенство треугольника. Ортогональная система. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Матричная запись скалярного произведения, матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базисы. Алгоритм ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса в любом конечномерном пространстве.
Линейные формы (функционалы). Сопряженное пространство, ковекторы. Формула для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису.
Лекция 20.04.2018. Взаимные базисы. Изоморфизм между евклидовым пространством и сопряженным к нему. Биортогональные базисы. Сопряженный оператор. Ортогональное дополнение. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению.
Матрица Грама и 3 её свойства: 1) симметричность и положительная определенность, 2) формула для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису, 3) положительность определителя.
Лекция 27.04.2018. Инвариантность определителя матрицы Грама относительно процесса ортогонализации Грама–Шмидта. Критерий невырожденности матрицы Грама. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство. Расстояние между вектором и подпространством. Формула для расстояния через определители матриц Грама. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженный (симметрический) оператор.
Лекция 11.05.2018. Теорема о существовании сопряженного оператора. Формула для матрицы сопряженного оператора. Самосопряженные (симметрические) операторы. Критерий самосопряженности оператора. Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям. Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Теорема о существовании для самосопряженного оператора ортонормированного базиса из собственных векторов.
Ортогональные матрицы и их четыре свойства. Ортогональные операторы.
Лекция 18.05.2018. Теорема о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный и верно обратное. Критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу. Утверждение о том, что матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису ортогональна. Теорема о том, что для любой симметрической матрицы найдется подобная ей диагональная матрица, а подобие осуществляется с помощью ортогональной матрицы.
Теорема о сингулярном разложении. Утверждение о QR-разложении. Утверждение о полярном разложении. Ядро и образ сопряженного оператора.
Лекция 25.05.2018. Теорема Фредгольма и альтернатива Фредгольма.
Канонический вид ортогонального оператора. Теорема Эйлера.
Билинейные формы. Матрица билинейной формы. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса. Теорема об инвариантности ранга квадратичной формы.
Положительно (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие.
Лекция 01.06.2018. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции. Приведение квадратичных форм к диагональному виду (к главным осям) при помощи ортогональной замены координат.
Полуторалинейная форма. Эрмитова форма. Утверждение о формуле для преобразования матрицы эрмитовой формы при переходе к другому базису. Эрмитово пространство. Унитарные матрицы. Свойства унитарных матриц.
Сопряженный оператор в эрмитовом пространстве. Самосопряженный оператор в эрмитовом пространстве. Эрмитовы матрицы. Свойства самосопряженного оператора в эрмитовом пространстве.
Лекция 08.06.2018. Унитарный оператор в эрмитовом пространстве. Свойства унитарного оператора. Канонический вид унитарного оператора. Утверждения о полярном и сингулярном разложении в эрмитовом пространстве (формулировка).
Кривые второго порядка. Определение эллипса, гиперболы, параболы, их параметры (в частности, эксцентриситет). Вывод уравнения эллипса. Вывод уравнения параболы. Исследование алгебраического уравнения второго порядка от двух переменных.
Поверхности второго порядка (обзор). Поверхность вращения, цилиндрическая поверхность, линейчатая поверхность. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр. Эллипсоид, однополостный гиперболоид.
Лекция 15.06.2018. Двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид. Нахождение прямолинейных образующих для однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида.
Тензор как полилинейная функция от векторных и ковекторных аргументов: определение и примеры.
Brief content of lectures
Lecture from 08.09.2017. Systems of linear equations. Second and third order determinants. Cramer’s rule for the case of two variables. Formulating Cramer’s rule for the case of three variables. Operations with matrices: addition, scalar multiplication, transpose, matrix multiplication.
Lecture from 15.09.2017. Properties of operations with matrices: of addition, scalar multiplication, transposition, multiplication. Proof of the associativity of matrix multiplication. Transpose of the matrix product. Identity matrix. Non-commutativity of matrix multiplication. Symmetric and skew-symmetric matrices. Echelon and reduced echelon forms. Elementary row operations. Gaussian elimination.
Lecture from 22.09.2017. Leading (dependent) and free variables. The general solution of a system of linear equations. Permutations and substitutions. Inversions. Transposes. Sign and parity of permutations and substitutions. The general formula for the determinant of any order. Properties of the determinant: linearity, skew-symmetry.
Lecture from 29.09.2017. Properties of the determinant: the Laplace expansion (cofactor expansion by row/column and expansion using different rows/columns), computing the determinant of an upper triangular matrix. Minors and cofactors. The determinant of a product of two square matrices. Methods of computing determinants. Note that a skew-symmetricity for linear function is equivalent to vanishing on two equal arguments. Statement that any function of matrix columns is the determinant if it is linear in each of the arguments, skew-symmetric and equals one when identity matrix is the argument. Proof of the statement for the case of a 2x2 matrix. Cramer’s rule for square matrices of any order.
Lecture from 06.10.2017. Inverse matrix. The uniqueness of an inverse matrix. Invertible matrix theorem. Method to calculate the inverse of a matrix using cofactors. Adjoint matrix. Inverse of a matrix product and inverse of the transpose of a matrix. Computing an inverse matrix using elementary operations. Matrix equations AX = B, XA = B. Minors. Rank of a matrix. Basic minor of a matrix. Definition of a linear combination. Linear dependence of rows/columns. Linearly independent rows. The criterion for linear dependence. Properties of the rank of a matrix.
Lecture from 13.10.2017. Basic minor theorem. The criteria to determine matrix non-singularity. Computing the rank of a matrix (using row echelon forms and minors).
Lecture from 20.10.2017. Homogeneous systems of linear equations. Consistent systems of linear equations. Relationship between the solutions of a linear system and the solutions of the corresponding homogeneous system.
Rouché-Capelli Theorem. Solution sets to a homogeneous system and basis for the solution sets.
Lecture from 03.11.2017. Criterion for the existence of a non-trivial solution for a homogeneous system of linear equations. Solution sets to homogeneous and nonhomogeneous systems.
Lecture from 10.11.2017. Complex numbers: standard and polar (trigonometric) forms. Properties of complex addition and multiplication. Modulus and argument of a complex number. Principal value of the argument of a complex number. De Moivre’s Formula. Complex conjugation. Complex division. N-th root of a complex number. Euler’s formula and its corollaries.
Lecture from 24.11.2017. Basis in three-dimensional space. Orthogonal and orthonormal basis. Right-handed basis. Gram matrix of a basis. Computing an inner product through coordinates. Computing an inner product through coordinates in an orthonormal basis. Cross (vector) product in three-dimensional space. Algebraic properties of a cross product. Computing a cross product through coordinates in an orthonormal basis. Condition for collinearity of two vectors. Triple product and its properties.
Lecture from 01.12.2017. Computing a triple product through coordinates in an orthonormal basis. Computing the volume of a parallelepiped. Condition for coplanarity of three vectors. Cartesian coordinate system. Position vector of a point. Position vector of a point dividing a segment in a given ratio, the middle of a segment. Plane equation and its geometric image. Direct and inverse problems of analytic geometry. General equation of a plane. Theorem on the fact that any linear equation defines a plane.
Lecture from 08.12.2017. Equation of a plane containing three given points. Intercept form of the equation of a plane. Relative position of planes. Angle between planes. Distance from a point to a plane. Direction cosine of a normal. Lines in space. Equation of a line as the intersection of two planes. Vector equation of a line. Parametric equation of a line. Symmetric equation of a line. Relative position of a line and a plane. Calculating distances from a point to a plane and between two planes. Surjection and injection. Bijection. Binary operations. Associative and commutative binary operations. Groupoid, semigroup. Examples.
Lecture from 15.12.2017. Monoid. Inverse elements. Group. Examples of groups: symmetric group, general linear group, special linear group. Abelian group. Subgroup. Homomorphism. Kernel of a homomorphism. Epimorphism and monomorphism. Group isomorphism. Cyclic group. Order of an element. Connection between the order of the generator of a cyclic group with the group’s order. Cayley table. Theorem on the fact that all cyclic groups of the same order are isomorphic. Three properties of isomorphism.
Lecture from 12.01.2018. Proof of the statement on the correlation between order of the generator of a cyclic group and the group’s order. An example of a finite cyclic group: group of integers modulo n. Cayley table for the group of integers modulo 4. Left coset of some subgroup. Index of a subgroup. Lagrange's theorem and its three corollaries. Examples of groups: Dihedral group, alternating group.
Lecture from 19.01.2018. Quaternion group. Subgroups of additive group of integers. Normal subgroup. The criterion for normality. Quotient (factor) group. Natural homomorphism. Statement on the fact that only kernels of homomorphisms are natural subgroups. First isomorphism theorem.
Lecture from 26.01.2018. Direct product of groups. Note on the 5 non-isomorphic groups of order 8. Group action on set. Orbits and stabilizers. The number of elements in an orbit for a finite group. Examples of group actions on itself. Automorphism and inner automorphism. Cayley's theorem. Center of a group. Statement on the fact that the center of a group is a normal subgroup. Statement on the fact that a group’s quotient group by its center is isomorphic to the group of its inner automorphisms.
Lecture from 02.02.2018. Rings. Additive group of a ring. Multiplicative monoid of a ring. Examples of rings: ring of integers, matrix ring, ring of integers modulo n, polynomial ring in one variable. Subrings. Subrings generated by a set. Commutative rings. Zero divisors and units. Domains. Fields, examples of fields. Statement on the fact that the ring of integers modulo p is a field if and only if p is prime.
Lecture from 09.02.2018. Subfields, examples of subfields. Two-sided ideal. Principal ideal. Ring homomorphism. Quotient rings. Lemma on the fact that the kernel of a ring homomorphism is an ideal. First ring isomorphism theorem. Characteristic of a field. Prime subfields. Statement on what prime fields can be isomorphic to. Field extensions. Field of rational fractions. Statement on when a quotient ring of a polynomial ring over a field is a field itself.
Lecture from 16.02.2018. Field extensions by adjoining elements. Algebraic elements over a field. Statement on how many elements there can be in a finite field and what are its subfields isomorphic to. Statement on the fact that any finite field can be realized as a quotient ring of a polynomial ring by an ideal generated by an irreducible polynomial. Euclidean algorithm for finding the greatest common divisor over a polynomial ring. Greatest common divisor for two polynomials. Coprimality in rings. Criterion for a commutative ring to be a domain. Linear spaces.
Формы контроля
В данном разделе будут выложены материалы для подготовки к различным формам контроля.
Контрольная работа 1 модуль
Задачи для подготовки к контрольной работе в 1-ом модуле 2017/2018-ого учебного года
Экзаменационная работа 2 модуль
Задачи для подготовки к экзаменационной работе во 2-ом модуле 2017/2018-ого учебного года
Контрольная работа 3 модуль
Коллоквиум 4 модуль
Определения к коллоквиуму по курсу "Алгебра",4 модуль 2017/2018-го учебного года
Экзаменационная работа 4 модуль
Задачи для подготовки к экзаменационной работе в 4-ом модуле 2017/2018-ого учебного года
По всем организационным вопросам обращайтесь по адресу: moc.spuorgelgoog|71arbegla#moc.spuorgelgoog|71arbegla